Паралельність та перепендикулярність прямих і площин

ПАРАЛЕЛЬНІСТЬ ТА ПЕРПЕНДИКУЛЯРНІСТЬ ПРЯМИХ І ПЛОЩИН

Урок-гра, 10 клас

Тема. Аксіоми стереометрії та їх найпростіші наслідки, паралельність прямих і площин, перпендикулярність прямих і площин.

Мета: повторити навчальний матеріал із названих тем; розвивати навички використання теоретичних знань до розв’язування задач, пізнавальну активність учнів, культуру спілкування, вміння формулювати відповіді на запитання.

Обладнання. Плакати, таблиці, роздатковий матеріал, кубик, магнітофон.

Тип уроку. Урок узагальнення і систематизації знань, умінь і навичок.

ХІД УРОКУ

І. Організаційний момент.

Урок проводиться у вигляді гри «Щасливий випадок». Гра складається з чотирьох геймів, результати яких оцінюються журі. У грі беруть участь дві команди 10-го класу (по 5 учнів у команді).

ІІ. Гра.

І гейм «Далі, далі, далі…»

Кожній команді пропонується по 15 запитань, час відповіді на всі запитання команди – 3 хв. Відповідають члени команди по черзі, яку визначає капітан команди. Кожна правильна відповідь оцінюється 1 балом. Якщо учень не може відповісти, то він говорить: «Далі…», при цьому команда втрачає 1 бал. Відповісти на це запитання може наступний учень, але за правильну відповідь йому зараховується 0,5 бала. Після цього він відповідає на своє запитання.

Запитання першій команді

1. Сформулюйте аксіому стереометрії C.

(Яка б не була площина, існують точки,

що належать цій площині, і точки, які не належать їй.)

2. Чи можна стверджувати що будь-які дві точки завжди лежать на одній прямій: так чи ні?

(Так.)

3. Дві прямі в просторі називаються паралельними, якщо…

(вони лежать в одній площині і не перетинаються.)

4. Чи можуть дві різні площини мати лише одну спільну точку?

(Ні.)

5. Якщо прямі AB і CD мимобіжні, то прямі AC і BD …

(мимобіжні.)

6. Пряма а паралельна площині . Чи існують у площині  прямі, не паралельні прямій а?

(Існують.)

7. Чи можуть бути паралельними площини, які проходять через не паралельні прямі?

(Так.)

8. Якщо дві площини паралельні третій, то …

(вони паралельні між собою.)

9. Відрізки паралельних прямих, які знаходяться між двома паралельними площинами, …

(рівні.) 

10. Чи можна при паралельному проектуванні прямокутника отримати трапецію?

(Ні.)

11. Пряма називається перпендикулярною до площини, …

(якщо вона перпендикулярна до будь-якої прямої,

 що лежить у цій площині й проходить через точку перетину.)

12. Чи правильно, що коли пряма не перпендикулярна до площини, то вона не перпендикулярна до жодної прямої цієї площини?

(Ні.)

13. Через одну зі сторін трикутника можна провести площину, перпендикулярну до другої сторони. Який це трикутник?

(Прямокутний.)

14. Площина  перпендикулярна до прямої b, а пряма b паралельна прямій c. Яке взаємне розміщення площини  і прямої c?

(.)

15. Пряма а перпендикулярна до площини , а площина  паралельна прямій c. Яке взаємне розміщення прямих а і c?

(а і c мимобіжні.)

Запитання другій команді

1. Сформулюйте аксіому стереометрії C.

(Якщо дві різні площини мають спільну точку, то вони

перетинаються по прямій, що проходить через цю точку.)

2. Чи можна стверджувати, що будь-які чотири точки завжди лежать в одній площині?

(Ні.)

3. Пряма і площина називаються паралельними, якщо …

(вони не перетинаються.)

4. Чи правильно, що пряма, яка має з колом тільки одну спільну точку, є дотичною до кола в цій точці у просторі?

(Не можна стверджувати.)

5. Прямі, що не перетинаються і не лежать в одній площині, називаються …

(мимобіжними.)

6. Пряма a паралельна прямій b, а пряма b паралельна площині . Чи обов’язково пряма a паралельна площині ?

   (Так.)

7. Дві прямі паралельні третій, …

(якщо вони паралельні між собою.)

8. Якщо площина перетинає одну з двох паралельних прямих, то вона …

(перетинає й другу.)

9. Якщо дві паралельні площини перетинаються третьою площиною, то прямі перетину …

(паралельні.)

10. Чи можна при паралельному проектуванні прямокутника отримати паралелограм?

(Так.) 

11. Дві прямі в просторі називаються перпендикулярними, якщо …

(вони перетинаються під прямим каутом.)

12. Скільки різних площин визначають прямі MA, MB, MC?

(Три.)

13. Скільки прямих, перпендикулярних до даної площини, можна провести через точку поза даною площиною?

(Одну.)

14. Площина  перпендикулярна до прямої b, а пряма b перпендикулярна до прямої c. Яке взаємне розміщення площини  і прямої c?

(c׀׀.)

15. Дві мимобіжні прямі мають спільний перпендикуляр і до того ж …

(тільки один.)

ІІ гейм «Заморочки з бочки»

Кожному члену команди пропонується розв’язати по одній задачі. Учні вибирають задачу із запропонованого конверта. За правильне розв’язання задачі нараховується по одному або два бали залежно від рівня складності задачі.

Задачі з конвертів

1. Чи можна стверджувати, що через пряму і дві точки поза нею можна провести площину? (1 бал)

2. З точки до площини проведені перпендикуляр довжиною 5 см і похила довжиною 13 см. Знайти довжину проекції цієї похилої на площину. (1 бал)

3. З центра О правильного трикутника ABC зі стороною 9 см проведено перпендикуляр OM до його площини довжиною 3 см. Знайти кут MAO. (2 бали)

4. З вершини прямого кута C трикутника  ABC до його площини проведено перпендикуляр CM довжиною см. Знайти відстань від точки M до AB, якщо AC =BC = 8 см. (2 бали)

5.  ‒ куб, довжина ребра якого дорівнює 4 см. Знайти відстань між прямими  і . (2 бали)

Геомузик

(Між ІІ і ІІІ геймами пропонується музична пауза.)

Пропонуємо дати геометричну інтерпретацію фрагментам шести музичних творів. За кожну правильну (чи можливу) інтерпретацію нараховується 1 бал.

1. «Місячна дорога» (слова М. Бакая; пряма на площині)

Місячна дорога край села

У холодних росах пролягла,

Повела з тобою нас в рідний край.

Не забудем ми дорогу ту,

І кохання нашого весну,

Не забудем, не забудем ми.

2. «Как провожают пароходы» (К. Ваншенкін; паралельні прямі)

Как провожают пароходы,

Совсем не так, как поезда.

Морские медленные воды

Не то, что рельсы в два ряда.

3. З кінофільму «Земля Саннікова» (перетин прямої з площиною)

Призрачно все в этом мире бушующем,

Есть только миг, за него и держись.

Есть только миг между прошлым и будущим,

Именно он называется жизнь.

4. «Повернення додому» (слова А. Кичинського, пряма, перпендикулярна до площини)

На відстані сльози

Над полум’ям рудим

Стоїть холодний дим

До самого до неба.

Холодний і гіркий

Іде у небо дим,

Теплішого мені, солодшого не треба.